قوانين التشكيل 9 الةي ر السام ظزري 11/12/2016 د. أسمهان خضور سنستعمل الرمز (T,E) عوضا عن قولنا إن T قانون تشكيل داخلي يعرف على المجموعة E

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "قوانين التشكيل 9 الةي ر السام ظزري 11/12/2016 د. أسمهان خضور سنستعمل الرمز (T,E) عوضا عن قولنا إن T قانون تشكيل داخلي يعرف على المجموعة E"

Χλόη Κωνσταντόπουλος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

ظزري 45 قوانين التشكيل 9 11/12/2016 8 الةي ر السام د.

ملاحظة: يمكن ا ن نرمز للتطبيق بعدة رموز مثل: E E E (x, y) z = x y E z = xty سنستعمل الرمز (T,E) عوضا عن قولنا إن T قانون تشكيل داخلي يعرف على المجموعة E E بدمجهم فالناتج من E نفسها.

1 ظزري 45 قوانين التشكيل 9 11/12/ الةي ر السام د. أسمهان خضور صاظعن الاحضغض الثاخطغ operation) (the Internal binary تعريف: ا ن قانون التشكيل الداخلي على المجموعة غير الخالية ( E) E يعر ف على ا نه التطبيق. ملاحظة: يمكن ا ن نرمز للتطبيق بعدة رموز مثل: E E E (x, y) z = x y E z = xty سنستعمل الرمز (T,E) عوضا عن قولنا إن T قانون تشكيل داخلي يعرف على المجموعة E E بدمجهم فالناتج من E نفسها. ونقول ا ن المجموعة E مغلقة ا ي ا ن كل عنصرين من o (+,Z) ا ي ا ن كل عنصرين نجمعهم من ا مثلة: Z هو عدد صحيح من Z (R, ) ; (R, +) ; (Q, +) ليكن لدينا مجموعة الا جزاء P(E) فا ن مجموعة الا جزاء مع تطبيق الاجتماع (P(E), ) P(E) P(E) P(E) (A, B) A B P(E) E{1,2,3} P(E) = {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}, A = {2,3}, B = {3} A B = {2,3} {3} = {2,3} 1

2 صفات قانون التشكيل الداخلي.1 قانون التشكيل الداخلي تجميعي: operation) (Assaciative Internal binary تعريف: يكون قانون التشكيل الداخلي (T,E) تجميعيا ا ذا وفقط ا ذا تحقق: x, y, z E, (xty)tz = xt(ytz) ا مثلة: (+,R) تجميعي لا ن: x, y, z E, (x + y) + z = x + (y + z) تبين فيما ا ذا كان (T,E) المعرف بالشكل التالي تجميعي:,x y E ; xty = x (ا ي ا ن ناتج ارتباط ا ي عنصرين من E هو العنصر الا ول حسب ترتيب الكتابة) نجد ا نه: x, y, z E (xty)tz = xtz = x xt(ytz) = xty = x (xty)tz = xt(ytz) فالقانون تجميعي. والقانون المعرف في المثال السابق يسمى بقانون الا سقاط الا ول:,x) (y xty = x.2 قانون التشكيل الداخلي تبديلي: operation) (commutative Internal binary تعريف: يكون (T,E) تبديليا ا ذا وفقط ا ذا تحقق: x, y E ; xty = ytx E N, Q, R, C, Z حيث: (E, +) ا مثلة: نجد ا نه مثلا: x, y E ; x + y = y + x x = 5 + i, y = 6 3i x + y = y + x = 11 2i فالقانون تبديلي. ( ا و/): عملية الفرق على P(E) يكون فيها قانون التشكيل الداخلي غير تبديلي: A B B A ا ن قانون الا سقاط الا ول غير تديلي لا ن: x, y E ; xty = x, ytx = y x y 2

.3 العنصر الحيادي: element) (the Identity تعريف: نقول عن العنصر e E عنصرا حياديا من اليسار بالنسبة ل (T,E) ا ذا تحقق: x E ; etx = x :(P(E), ) نجد ا ن: P(E) هو العنصر الحيادي من اليسار بالنسبة ل

3 .3 العنصر الحيادي: element) (the Identity تعريف: نقول عن العنصر e E عنصرا حياديا من اليسار بالنسبة ل (T,E) ا ذا تحقق: x E ; etx = x :(P(E), ) نجد ا ن: P(E) هو العنصر الحيادي من اليسار بالنسبة ل (P(E), ) لا ن: A = A نقول عن العنصر e E عنصرا حياديا من اليمين بالنسبة ل (T,E) ا ذا تحقق: x E ; xte = x ويكون العنصر e حياديا بالنسبة ل (T,E) ا ذا كان حياديا من اليمين ومن اليسار ا ي: x E ; etx = xte = x في المثال السابق نجد ا ن هو ا يضا عنصر حيادي من اليمين بالنسبة ل (P(E), ) لا ن: A = A ا ذا هو حيادي بالنسبة ل (P(E), ) (+,E) تملك عنصر حيادي هو الصفر حيث ا ن: x E, x + 0 = 0 + x = x تملك عنصر حيادي هو الواحد حيث ا ن: x E, x 1 = 1 x = x (E, ) طقتزي : إذا وجث سظخر تغادي ل e بالظسي ي ل (T E) شإظه وتغث وطظ الممضظ أق غعجث عثا السظخر وإن وجث شعع وتغث. 3

4 4. العنصر النظير: ا ذا كان e هو العنصر الحيادي بالنسبة ل (T,E) فا ننا نعر ف العنصر النظير x E بالنسبة للعنصر xكما E يلي: ا ن يكون x E نظيرا بالنسبة ل x E من اليسار ا ذا تحقق: x E ; x T x = e حيث e حيادي ونقول عن x ا نه قابل للقلب من اليسار. يكون x E نظيرا من اليمين بالنسبة ل x E ا ذا تحقق: x E ; x T x = e حيث e حيادي ونقول عن x ا نه قابل للقلب من اليمين. ويكون x نظيرا للعنصر x E ا ذا كان نظيرا له من اليمين واليسار ا ي: x E ; x T x = x T x = e تجد أن: x) ) = x (أي أن نظير النظير هو العنصر نفسه) ونقول عن x ا نه قابل للقلب. أمثلة: (R, +) x R x + x = 0 x + ( x) = 0 ا ذا (+,R) يملك عنصر نظير هو x من ا جل كل عدد حقيقي x (M(R), +) تملك عنصر نظير لكل عنصر M(R) A هو M(R) A تذكرة: M(R) تشير إلى المخفعشات البظائغي المربسي ذات السظاخر التصغصغي A = 1 3 3, A = 1 A + ( A) = طي رعظي : إذا ضان (T, E )تةمغسغ سطى سظاخر E وضان ل x E ظزغر بالظسي ي ل (T E) شإن عثا الظزغر وتغث. 4

وللمعادلة: yta = b حل وحيد هو: o برهان: a T x = b a T (a T x ) = a T b (a T a)t x = a T b e T x = a T b x = a T b لنا خذ

5 nu صعاظغظ الاحضغض د. أجمعان خدعر مبرهنة ا ذا كان T) (E تجميعي على E وكان a E نظير a E فا ن: x = a Tb للمعادلة: atx = b حل وحيد هو: o y = b Ta وللمعادلة: yta = b حل وحيد هو: o برهان: a T x = b a T (a T x ) = a T b (a T a)t x = a T b e T x = a T b x = a T b لنا خذ مجموعة المصفوفات المربعة من المرتبة ونعرف عليها القانون: (M(R), ) وبفرض ا ن للمصفوفة [j A[a, مقلوب بالنسبة لهذا القانون وهو ) 1 A) عندي ذ يكون للمعادلة A x = B حل وحيد هو: x = A 1 B مثال عن ضرب مصفوفتين: A = 1 2 3, B = A B =

الثاخي الاعزغسغي لصاظعن الاحضغض الثاخطغ بالظسي ي لصاظعن آخر ± ± ± تعريف: ا ن قانون التشكيل الداخلي توزيعي بالنسبة لقانون التشكيل الداخلي T من اليسار ا ذا تحقق: x, y, z E ; x (y T z) = (x y)t(x z) كما

6 الثاخي الاعزغسغي لصاظعن الاحضغض الثاخطغ بالظسي ي لصاظعن آخر ± ± ± تعريف: ا ن قانون التشكيل الداخلي توزيعي بالنسبة لقانون التشكيل الداخلي T من اليسار ا ذا تحقق: x, y, z E ; x (y T z) = (x y)t(x z) كما نقول ا ن توزيعي على T من اليمين ا ذا تحقق: x, y, z E ; (y T z) x = (y x)t(z x) ا ما ا ذا كانت العملية * توزيعية يمينا ويسارا بالنسبة ل T فنقول ا ن * توزيعي بالنسبة ل T وإذا كان * تبديليا فا ن الخاصة التوزيعية تتحقق بتحقق إحدى الطرفين x, y, z R x (y + z) = x y + x z (E, ), (E, +) نجد ا ن: الضرب توزيعي بالنسبة للجمع (p(e), ), (p(e), ) A, B, C p(e) ; A (B C) = (A B) (A C) A, B, C p(e) ; A (B C) = (A B) (A C) نجد ا ن: كلا من الاجتماع والتقاطع توزيعي على الا خر ما كل ما يتمناه المرء يدركه تجري الرياح بما لا تشتهي السفن تجري الرياح كما تجري سفينتنا نحن الرياح ونحن البحر والسفن 6

7 صاظعن الاحضغض الثارجغ operation) (External binary لتكن لدينا المجموعتان: E, K ولنرمز لعناصر E ب: y, x, ولعناصر K ب: α, β, يعرف قانون التشكيل الخارجي على المجموعة E با نه التطبيق حيث: : K E E (α, x) α x ونقول ا ن قانون تشكيل خارجي على E مجموع مو ثراته هي المجموعة K ونكتب α x ونقول ا ن α x هو حاصل تركيب العنصرين α و x K E E (α, x) α x E وسنستعمل للسهولة ا شارة ( ) بدلا من ( ) فنكتب: وقانون التشكيل الخارجي هذا ضرب من اليسار و بالمثل يمكن تعريف قانون التشكيل الخارجي من اليمين على E والذي مجموع مو ثراته K بهذا الشكل: E K E (α, x) x α E R n = { (x, y), x R, y R} R n x = {x 1, x 2, x 3,, x n } مثال على ذلك: E = R n R: n عع الي سث الفدائغ وسظاخرعا: ولنعرف عليها قانون التشكيل الخارجي الذي مجموع مو ثراته R R R R n (α 1, x) α x R n α x = α(x 1, x 2, x 3,, x n ) = α x 1, α x 2,.., α x n ا ن قانون التشكيل هذا ضرب من اليسار. ضما ظسطط أن R n غمضظ تحضغطه ضصاظعن تحضغض داخطغ وتطي غص خاخغي الاعزغع طظ الغمغظ وطظ الغسار. 7

8 الي ظى الةي رغي Algebraic Structure نقول عن المجموعة ( E E) ا نها مجموعة ذات بنية جبرية ا ذا كانت مزودة بقانون تشكيل ا و عدة قوانين تشكيل داخلية وخارجية وا ذا كانت المجموعة E ذات بنية جبرية نقول عن المجموعة الجزي ية منها ( A A) E با نها مغلقة جبريا بالنسبة ل E ا ذا كانت مغلقة بالنسبة لا ي قانون خارجي ا و داخلي زودت به E. مغلقة: أي أن تركيب أي عنصرين منها ينتمي إليها لنا خذ مجموعة الا عداد الصحيحة ونزودها بقانون تشكيل داخلي وهو عملية الجمع. السو ال بالرموز: (z لنزودها +) كما نعلم ا ن (+,Z) قانون تشكيل داخلي على Z ولنا خذ المجموعة الجزي ية منها N Z بما ا ن: a, b N, (a + b) N وبالتالي فهي مغلقة جبريا بالنسبة لقانون التشكيل. التشاكل والتشاكل التقابلي 1) مفهوم التشاكل: (Homomorphism) ا ذا كانت B و A مزودتين بقانوني تشكيل داخلي T و على الترتيب يكون التطبيق: :f A B تشاكلا ا ذا تحقق: x, y A f(x T y) = f(x) f(y) 2) التشاكل التقابلي: (Isomorphism) يكون التطبيق: :f A B تشاكلا تقابليا ا ذا تحقق: تقابل f x, y A f(x T y) = f(x) f(y).1.2 أي أن تطي غص الاحاضض إذا ضان غتصص حرط الاصابض (ضعظه غاطرا وطاي اغظاU ) شظصعل سظه أظه تطي غص تحاضض تصابطغ...اظاعي المتاضرة... 8

Σχετικά έγγραφα

( D) .( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) الا سقاط M ( ) ( ) M على ( D) النقطة تعريف مع المستقيم الموازي للمستقيم على M ملاحظة: إذا آانت على أ- تعريف المستقيم ) (

( D) .( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) الا سقاط M ( ) ( ) M على ( D) النقطة تعريف مع المستقيم الموازي للمستقيم على M ملاحظة: إذا آانت على أ- تعريف المستقيم ) ( الا سقاط القدرات المنتظرة *- الترجمة المتجهية لمبرهنة طاليس 1- مسقط نقطة مستقيم D مستقيمين متقاطعين يجد مستقيم حيد مار من هذا المستقيم يقطع النقطة يازي في نقطة حيدة ' ' تسمى مسقط نقطة من المستى تعريف )